Page 21 - מגזין הטכניון | דצמבר המופלא

נובל
פרס
≤±
המופיעות רק בגרסה השמאלית ולא
לבסוף חישבנו את Æ או להפך¨בימנית
Æ הסיבוכיות של המבנה
לאחרונה אנו עוסקים בעיקר בסדרת
שהיא ¨ היא ועקומת הדרקוןÆ קיפול הנייר
הומצאו לפני כיובל שנים על ¨ תולדתה
ופורסמו NASAידי שלושה פיזיקאים של
® Martin Gardner© ע“י מרטין גארדנר
Scientific בטורו המיתולוגי בכתב העת
מאז עוסקים מתמטיקאים ÆAmerican
אך מעולם לא חרגו ¨רבים בסדרה הזאת
זה לא כבר הצלחנו Æמעבר לממד אחד
להכליל את סדרת קיפול הנייר לממד
הקורא החרוץ ¨ לשם הדגמהÆכלשהו
מתבקש לקחת גיליון נייר ולקפל אותו
משמאל לימין ולחזור על הקיפול כמה
אפשר לקפל נייר רגיל ≠ אי¨ אגב Æפעמים
לאחר מכן יש לפתוח Æ יותר משש פעמים
גיא ≠ את הנייר ולהתבונן בסדר הקיפולים
ואם Æ הרי לכם תחילת הסדרהÆאו רכס
נראה שהקפלים הם ¨ נתבונן בנייר מצדו
Æ®≤ איור© תחילתה של עקומת הדרקון
נעיר כי סדרת קיפול הנייר הינה כמעט
¨פריודית גבולית≠ דהיינו קוואזי¨ מחזורית
Æגביש גבולי ≠ובתור שכזאת היא קוואזי
פרוש הדבר הוא שיש בה אינסוף מחזורים
Æשאינם משותפי מידה
הבה נקפל כעת את גליון הנייר משמאל
ונחזור ¨ ולאחר מכן מלמטה למעלה¨ לימין
Æ אולי שלוש פעמים≠ על כך ככל שנצליח
יצליח לבצע זאת ¨ לעומת זאת¨המחשב
≠ והמחשבה המתמטית¨פעמים רבות
בזכות המתמטיקה Æאפילו אינסוף פעמים
ממדי במרחב ≠nאנו יודעים לקפל גיליון
הדורות הראשונים של מבנה Æn ´ ± שממדו
Æ¥ ¨≥ ממדי מוצגים באיורים≠קיפול נייר דו
המניע העיקרי ¨כפי שנרמז בהתחלה
מחזוריים הוא השאיפה ≠לחקר מבנים לא
להעמיק את הבנת המשמעות של סדר
ולכמת ¨סדר ואת מידתו ומורכבותו≠ואי
נכון לעכשיו נראית הסיבוכיות Æאותן
פונקציה המונה את מספר © הסימבולית
® המבנים השונים בעלי אותו גודל וצורה
ולכן אנחנו מחשבים ¨ כמידתו המיטבית
Æ אותה למבנים אשר בנינו
מקובל לחשוב כי האנטרופיה היא מידת
אך מסתבר שהאנטרופיה על ¨ סדר≠האי
® ערך≠שהן בעיקרן שוות© מגוון הגדרותיה
אינה מצליחה להבחין בין מבנה אקראי
יש לכך Æלמבנה דטרמיניסטי מורכב דיו
הוא מאפשר את קיומם של ≠ גם צד חיובי
מחוללי מספרים אקראיים אשר כמעט
כלומר ¨אקראיים ≠כולם בעצם פסאודו
פרט לכמה יוצאים מן הכלל ¨כוזבים
המבוססים על תופעת טבע כגון התפרקות
Æרדיואקטיבית
בשביל מה זה ∫בסוף נשאלת השאלה
ø והאם אפשר להרוויח מזהøבכלל טוב
כיום אנחנו ¨ כמו שכבר אמרנו¨מצד אחד
מבינים יותר טוב שאלות אשר לפני
ויש לנו ¨ כשלושה עשורים אפילו לא נשאלו
¨ אף כי לרוב חלקיות ¨גם לא מעם תשובות
Æ וזה בעצם הדבר המאתגר והמרתק
כיום קיימות Æמצד שני קיים הצד המעשי
טכנולוגיות המבוססות על אלגוריתמים מן
המסוגלות ליצור מבנים ¨הסוג שהוזכר כאן
ממדיים ≠ דו¨ממדיים≠חד≠אפריודיים קוואזי
דבר זה מאפשר ליצור Æממדיים≠ואף תלת
כלומר חומרים בעלי תכונות ¨חומרים≠מטא
בעיקר ¨ חריגות שלא נמצאים בטבע
Æתכונות חשמליות ואופטיות בלתי רגילות
בן ®שלמה יצחק© ש“י® אמריטוס© פרופסור
¨אברהם הוא חבר סגל במחלקה לפיזיקה
גוריון בנגב ≠אוניברסיטת בן
‘יִיבונצִ המכונה פ®Leonardo Pisano© נוֹÀ רדוֹ פיזַ אוֹנֵ או ל®Leonardo da Pisa © הÀ ה פיזÀ רדוֹ דַ אוֹנֵל
בספרו¨ היה ראשון המתמטיקאים המערביים אשר הציג¨±≤μ∞≠±±∑∞ שחי בערך בשנים ¨®Fibonacci©
את שיטת הצגת המספרים המיקומית שמקורה בהודו והנהוגה עד® ספר החשבון© Liber Abaci
∫ והיא®“שאנו קוראים להם בטעות ”שפנים© “ הוא ניסח את ”בעיית התרבות הארנבוניםÆימינו אנו
הארנבונים יגיעו לפרקם כעבור חודשייםÆ נציב על אי שומם זוג ארנבונים שזה עתה נולדו
כמה זוגות ארנבונים יהיוÆ הארנבונים הללו בני אלמוות הםÆואז יולידו זוג ארנבונים חדש
הבעיה הזאת היתה ידועה בהודו כבר במאהøעל האי כעבור מספר חודשים נתון
Æהשישית לכל המאוחר
Æ‘י ִיבונצִפתרון הבעיה הוא סדרת מספרי פ
∫מספרי פיבונצ‘י מוגדרים על ידי נוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה
,0כולל nלכל טבעי
F(0) = 0, F(1) = 1
∫והרי הראשונים של מספרי פיבונצ‘י
ÆÆÆ ¨≥∑∑ ¨≤≥≥ ¨±¥¥ ¨∏π ¨μμ ¨≥¥ ¨≤± ¨±≥ ¨∏ ¨μ ¨≥ ¨≤ ¨± ¨± ¨∞
יש לציין כי סדרת פיבונצ‘י ומספרי פיבונצ‘י מופיעים בתופעות טבע
כדאי גם להעיר כי המנהÆרבות שלכאורה אין ביניהן שום קשר
הנה קירוב F(n+1) / F(n)של שני מספרי פיבונצ‘י עוקבים
Æ אמנם מגיע אליוn➝∞ ובגבול t=(1+√5)/2ליחס הזהב
את תחולת סדרת פיבונצ‘י ואת מספרי פיבונצ‘י אפשר
Æ להרחיב גם למספרים השלמים השליליים
Æ זאת נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ
שים
‘י ִיבונצִהארנבונים של פ